问题 填空题
已知过椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦点F(-1,0)的弦AB的中点M的坐标是(-
2
3
1
3
),则椭圆E的方程是______.
答案

∵弦AB经过焦点F(-1,0),AB的中点为M(-

2
3
1
3
),

∴直线AB即直线FM,它的斜率k=

1
3
-0
-
2
3
+1
=1,可得直线AB的方程是y=x+1,

y=x+1
x2
a2
+
y2
b2
=1
消去y,可得(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),根据一元二次方程根与系数的关系,

可得x1+x2=

-2a2
a2+b2
,x1x2=
a2(1-b2)
a2+b2

∴y1+y2=(x1+1)+(x2+1)=(x1+x2)+2=

-2a2
a2+b2
+2=
2b2
a2+b2

又∵AB的中点为M(-

2
3
1
3
),

1
2
(x1+x2)=-
2
3
1
2
(y1+y2)=
1
3
,可得x1+x2=-
4
3
且y1+y2=-
2
3

因此

-2a2
a2+b2
=-
4
3
2b2
a2+b2
=-
2
3
,解之得a2=2,b2=1.

∴椭圆E的方程为

x2
2
+y2=1.

故答案为:

x2
2
+y2=1

单项选择题
多项选择题