已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．（1）当x＞0

问题解答题

已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设g(x)=log4(2x-1-

a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵x＞0时，F（x）=m（x）=log4(4x+1)，

∴当x＜0时，-x＞0，

∴F（-x）=log4(4-x+1)，又F（x）为R上的奇函数，

∴-F（x）=log4(4-x+1)，即F（x）=-log4(4-x+1)…（3分）

（2）∵函数f（x）=m（x）+n（x）=log4(4x+1)+kx为偶函数，

∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，…（5分）

而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x，

∴-x-kx=kx恒成立，

∴2k+1=0，

∴k=-

…（7分）

（3）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，

∴方程log4(4x+1)-

x=log4(2x-1-

a)有且只有一个实根，…（8分）

化简得：方程2^x+

=2^x-1-

a有且只有一个实根，…（9分）

令t=2^x＞0，则方程

t²+

at+1=0有且只有一个正根，

①△=0⇒a=-

，

②若一个正根和一个负根，不满足题意…（11分）

所以实数a的取值范围为{a|a=-

}…（12分）