问题
单项选择题
已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
A．如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关.
B．如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关.
C．如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出.
D．如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出.
答案
参考答案：B
解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知B不正确，应选B.
关于A：如果α1，α2，α3线性无关，又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关而知α4必可由α1，α2，α3线性表出，关于C：由已知条件，有
(Ⅰ)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4).
若r(α2，α3)=1，则必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(Ⅰ)矛盾. 故必有r(α2，α3)=2. 那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3. 因此α1可以由α2，α3，α4线性表出.关于D：经初等变换有
(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3),
(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，
从而r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4).
因而α4可以由α1，α2，α3线性表出.