当∠P′A₁A₂=45°时，直线A₁P′的方程为y=x+2，

与椭圆的方程

x2

4

+y²=1联立，

y=x+2 x2 4 +y2=1

，

消去y得：5x²+16x+12=0，即（x+2）（5x+6）=0，

解得x=-

6

5

或x=-2（舍去）．

∴当∠P′A₁A₂=45°时，点P′在x轴上的射影M′的坐标为（-

6

5

，0），

∴|A₁M′|=|-

6

5

+2|=

4

5

，

∴|A₂M′|=|A₁A₂|-|A₁M′|=4-

4

5

=

16

5

，

显然，当点M在x轴从点M′向右移动到A₂的过程中，椭圆上的对应点P从点P′移动到A₂，总满足∠PA₁A₂＜45°，

∴满足∠PA₁A₂＜45°的概率为P（M）=

|M′A2|

|A1A2|

=

16 5

4

=

4

5

．

故选：A．