由题意，f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数．

（1）a=1时，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

2

1-x4

…（2分）

∴x=0时，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

最小值为2．…（4分）

（2）a=1时，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

2

1-x4

∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减；…（6分）

由于f（x）为偶函数，

∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．

设0≤x₁＜x₂＜1，

∴

1- x 41

＞

1- x 42

＞0，得

1

1- x 41

＜

1

1- x 42

f(x1)-f(x2)=

1

1- x 41

-

1

1- x 42

＜0

∴x∈[0，1）时，f（x）递增；…（10分）

（3）设t=

1-x2 1+x2

，则

∵x∈[-

2 5

5

，

2 5

5

]，

∴t∈[

1

3

，1]，∴y=t+

a

t

(

1

3

≤t≤1)

从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间[

1

3

，1]上，恒有2y_min＞y_max．…（11分）

①当0＜a≤

1

9

时，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上单调递增，∴ymin=3a+

1

3

，ymax=a+1，由2y_min＞y_max得a＞

1

15

，

从而

1

15

＜a≤

1

9

；…（12分）

②当

1

9

＜a≤

1

3

时，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，∴ymin=2

a

，ymax=max{3a+

1

3

，a+1}=a+1，

由2y_min＞y_max得7-4

3

＜a＜7+4

3

，从而

1

9

＜a≤

1

3

；…（13分）

③当

1

3

＜a＜1时，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，∴ymin=2

a

，ymax=max{3a+

1

3

，a+1}=3a+

1

3

，

由2y_min＞y_max得

7-4 3

9

＜a＜

7+4 3

9

，从而

1

3

＜a＜1；…（14分）

④当a≥1时，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上单调递减，∴ymin=a+1，ymax=3a+

1

3

，

由2y_min＞y_max得a＜

5

3

，从而1≤a＜

5

3

；…（15分）

综上，

1

15

＜a＜

5

3

．…（16分）