问题
解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。
答案
解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为
，
由已知得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b2=a2-c2=3，
∴椭圆的标准方程为
。
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
，得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，
则
，
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
，
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，
∴
，即
，
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，
∴
，
∴7m2+16mk+4k2=0，
解得：
，且均满足3+4k2-m2＞0，
当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点(2，0)，与已知矛盾；
当
时，l的方程为
，直线过定点
。
所以，直线l过定点，定点坐标为
。