问题 填空题
已知点P是椭圆
x2
16
+
y2
12
=1(y≠0)
上的动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2平分线上的一点,且F1M⊥MP,则OM的取值范围是______.
答案

如图,延长PF2,F1M,交与N点,∵PM是∠F1PF2平分线,且F1M⊥MP,

∴|PN|=|PF1|,M为F1F2中点,

连接OM,∵O为F1F2中点,M为F1F2中点

∴|OM|=

1
2
|F2N|=
1
2
||PN|-|PF2||=
1
2
||PF1|-|PF2||

∵在椭圆

x2
16
+
y2
12
=1(y≠0)中,设P点坐标为(x0,y0

则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0

∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0+a-ex0|=|2ex0|=|x0|

∵P点在椭圆

x2
16
+
y2
12
=1(y≠0)上,∴|x0|∈[0,4],

又∵当|x0|=4时,F1M⊥MP不成立,∴|x0|∈[0,4)

∴|OM|∈[0,2)

故答案为[0,2)

单项选择题
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