已知点P是椭圆x216+y212=1(y≠0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦

问题填空题

已知点P是椭圆

=1(y≠0)上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则OM的取值范围是______．

答案

如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，

∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，

连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁F₂中点

∴|OM|=

|F₂N|=

||PN|-|PF₂||=

||PF₁|-|PF₂||

∵在椭圆

=1(y≠0)中，设P点坐标为（x₀，y₀）

则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，

∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=|x₀|

∵P点在椭圆

=1(y≠0)上，∴|x₀|∈[0，4]，

又∵当|x₀|=4时，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈[0，4）

∴|OM|∈[0，2）

故答案为[0，2）