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问题 填空题
已知点P是椭圆
x2
16
+
y2
12
=1(y≠0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，则OM的取值范围是______．
答案

如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，

∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，

连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1F2中点

∴|OM|=

1
2
|F2N|=
1
2
||PN|-|PF2||=
1
2
||PF1|-|PF2||

∵在椭圆

x2
16
+
y2
12
=1(y≠0)中，设P点坐标为（x0，y0）

则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，

∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0+a-ex0|=|2ex0|=|x0|

∵P点在椭圆

x2
16
+
y2
12
=1(y≠0)上，∴|x0|∈[0，4]，

又∵当|x0|=4时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈[0，4）

∴|OM|∈[0，2）

故答案为[0，2）

解答题

设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0，x•]上单调递增，在[x•，1]单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x•为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．

对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（Ⅰ）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；

（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2-x1≥2r，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；

（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．
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判断题

即使是与亲朋好友聚会，也应该闲谈莫论企业秘密。
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