问题 解答题
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
,能否在y轴左侧的椭圆上找到一点M,使点M到左准线l的距离|MN|为点M到两焦点的距离的等差中项?若M存在,求出它的坐标,若不存在,请说明理由.
答案

设存在符合题意的点M,其坐标为(m,n)(m<0)

由椭圆的方程,可得a2=4,b2=3,∴c=

a2-b2
=1,

于是椭圆两个焦点的坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0)

且左准线l的方程为:x=

a2
c
,即x=-4,可得|MN|=m+4,

∵|MF1|+|MF2|=2a=4

∴由|MN|是|MF1|和|MF2|的等差中项,得2|MN|=|MF1|+|MF2|=4,解之得|MN|=2,

∵|MN|=m+4,∴m+4=2,解之得m=-2,代入椭圆方程得n=0

因此,存在点椭圆上点M的坐标为(-2,0),满足点M到左准线l的距离|MN|为点M到两焦点的距离的等差中项.

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