问题 解答题
定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)的单调性,并求当x∈[-3,3]时,f(x)的最大值及最小值;
(3)在b>
2
的条件下解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)>
1
2
f(b2x)-f(b)
答案

(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.…(1分)

再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0.∴f(-x)=-f(x).

∴f(x)为奇函数.…(3分)

(2)任取x1<x2,则x2-x1>0.∴由已知得f(x2-x1)<0.

∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0.

∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上是减函数.…(6分)

∴当x∈[-3,3]时,f(3)≤f(x)≤f(-3).

∵f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,

f(-3)=-f(3)=6.

∴当x∈[-3,3]时,f(x)max=6,f(x)min=-6.…(8分)

(3)不等式可化为:

f(bx2)-2f(x)>f(b2x)-2f(b).

而2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x),

f(bx2)-f(2x)>f(b2x)-f(2b).

f(bx2-2x)>f(b2x-2b).

∵y=f(x)在R上是减函数,

bx2-2x<b2x-2b,即bx2-(2+b2)x+2b<0…①…(10分)

当b>

2
>0时,①得(x-b)(x-
2
b
)<0;

当b>

2
时,
2
b
<b,此时解集为{x|
2
b
<x<b
}.…(12分)

单项选择题 A2型题
单项选择题