问题
解答题
| 定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2． （1）判断f（x）的奇偶性并证明； （2）判断f（x）的单调性，并求当x∈[-3，3]时，f（x）的最大值及最小值； （3）在b＞
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答案
（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（1分）
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．∴由已知得f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数．…（6分）
∴当x∈[-3，3]时，f(3)≤f(x)≤f(-3)．
∵f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
∴f(-3)=-f(3)=6.
∴当x∈[-3，3]时，f（x）max=6，f（x）min=-6．…（8分）
（3）不等式可化为：f(bx2)-2f(x)＞f(b2x)-2f(b)．
而2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
得f(bx2)-f(2x)＞f(b2x)-f(2b)．
即f(bx2-2x)＞f(b2x-2b)．
∵y=f（x）在R上是减函数，
∴bx2-2x＜b2x-2b，即bx2-（2+b2）x+2b＜0…①…（10分）
当b＞
＞0时，①得(x-b)(x-2
)＜0；2 b
当b＞
时，2
＜b，此时解集为{x|2 b
＜x＜b}．…（12分）2 b