问题
解答题
定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)判断f(x)的奇偶性并证明; (2)判断f(x)的单调性,并求当x∈[-3,3]时,f(x)的最大值及最小值; (3)在b>
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答案
(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.…(1分)
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0.∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.…(3分)
(2)任取x1<x2,则x2-x1>0.∴由已知得f(x2-x1)<0.
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0.
∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上是减函数.…(6分)
∴当x∈[-3,3]时,f(3)≤f(x)≤f(-3).
∵f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6.
∴当x∈[-3,3]时,f(x)max=6,f(x)min=-6.…(8分)
(3)不等式可化为:f(bx2)-2f(x)>f(b2x)-2f(b).
而2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x),
得f(bx2)-f(2x)>f(b2x)-f(2b).
即f(bx2-2x)>f(b2x-2b).
∵y=f(x)在R上是减函数,
∴bx2-2x<b2x-2b,即bx2-(2+b2)x+2b<0…①…(10分)
当b>
>0时,①得(x-b)(x-2
)<0;2 b
当b>
时,2
<b,此时解集为{x|2 b
<x<b}.…(12分)2 b