| 对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列． （1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009； （2）若{an}满足a1=p∈[0，
（3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
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（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4
=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，
得T=6
所以，数列{an}是以6为周期的周期数列，
周期为任意正整数--（2分）
又由
，an+2=an+1-an S2=1007 S3=2010
得a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003S6=0，
且数列{an}是以6为周期的周期数列，
所以，S6n=0，
所以 S2009=S5=a3=1003--（3分）
（2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，
即{an}是周期数列--（5分）
当p≠0，p∈(0，
)时，1 2
an+1=-2
+2an═-2(an-a 2n
)2+1 2
∈(0，1 2
)1 2
由已知a1=p∈[0，
)，1 2
且an+1=-2an2+2an，
可得a2∈[0，
)，1 2
依此类推可得a_∈[0，
)（n∈N*）1 2
所以 an+1-an=-2an2+an=an（1-2an）＞0，所以an+1＞an
即数列{an}是递增数列，非周期数列；--（8分）
（3）由（1）知，S2=a1+a2=a1+1005=1007，
所以a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，
且数列{an}是周期为6的周期数列，
所以（an）max=1005（n∈N*），（an）min=-1005，
且 a6n+1=2，a6n+2=1003，a6n+3=1005，a6n+4=-2，
a6n+5=-1005，a6n+6=-1003，--（9分）
而当n≥12时，
∈(0，2009 2n
)，1 2
bn=an+2n+
≥2n-1005+2009 2n
＞2009，2009 2n
即2n≥2009+1005=30142n+
≥1004，2009 2n
得n≥1507，即 n≥1507时，
都有bn＞2009；--（12分）
又b1506=a1506+2×1506+
=2009+2009 21506
＞2009b1505=a1505+2×1505+2009 21506
=2007+2009 21505
＜2009--（13分）2009 21506
综上，存在最小的自然数n=1506，
对一切自然数m，当m≥n=1506，
都有bm＞2009．--（14分）
