问题
解答题
已知：函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x3-ax（a为实数）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
答案
（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴f（-x）=-x3+ax
又∵f（x）是偶函数，f（-x）=f（x）
∴f（x）=-x3+ax，x∈（0，1]
（2）f′（x）=-3x2+a，
∵x∈（0，1]∴-3x2∈[-3，0），
又∵a＞3∴a-3x2＞0即f′（x）＞0
∴f（x）在（0，1]上为增函数．
（3）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，
∴fmax=f（1）=a-1=1∴a=2，（不合题意，舍去）
当0≤a≤3时，f′（x）=a-3x2，令f′（x）=0，∴x=
如下表：a 3
| x | （0，
|
| （
| ||||||||||||
| f′（x） | + | 0 | - | ||||||||||||
| f（x） | ↗ | 最大值 | ↘ |
|
|
|
∴a=
＜3∴x=3 27 4
＜1，满足条件a 3
当a＜0时，f′（x）=a-3x2＜0
f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
∴存在a=
，使f（x）在（0，1]上有最大值1．3 27 4