问题 解答题

(本小题满分12分)

已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等,且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n对任意的n∈N*都成立,数列{bn+1bn}是等差数列.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(2)是否存在k∈N*,使得bkak∈(0,1)?请说明理由.

答案

(1)an=24n(n∈N*),bnn2-7n+14(n∈N*).

(2)不存在k∈N*,使得bkak∈(0,1).理由略

解:(1)已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n(n∈N*).①

n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1)(n∈N*).②

①-②得2n-1an=8,解得an=24n,在①中令n=1,可得a1=8=24-1

所以an=24n(n∈N*).(4分)

由题意b1=8,b2=4,b3=2,所以b2b1=-4,b3b2=-2,

∴数列{bn+1bn}的公差为-2-(-4)=2,

bn+1bn=-4+(n-1)×2=2n-6,

bnb1+(b2b1)+(b3b2)+…+(bnbn-1)

=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=n2-7n+14(n∈N*).(8分)

(2)bkakk2-7k+14-24k,当k≥4时,f(k)=(k-)2+-24k单调递增,

f(4)=1,所以k≥4时,f(k)=k2-7k+14-24k≥1.

f(1)=f(2)=f(3)=0,所以,不存在k∈N*,使得bkak∈(0,1).(12分)

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