问题
解答题
(本小题满分12分)
已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)是否存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1)？请说明理由.
答案
（1）an＝24－n(n∈N*)，bn＝n2－7n＋14(n∈N*).
（2）不存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1).理由略
解：(1)已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*).①
n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*).②
①－②得2n－1an＝8，解得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，
所以an＝24－n(n∈N*).(4分)
由题意b1＝8，b2＝4，b3＝2，所以b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，
∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*).(8分)
(2)bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，当k≥4时，f(k)＝(k－)2＋－24－k单调递增，
且f(4)＝1，所以k≥4时，f(k)＝k2－7k＋14－24－k≥1.
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，所以，不存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1).(12分)