在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取

问题解答题

在等差数列{a_n}中，已知a₁=20,前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，求当n取何值时，S_n取得最大值，并求出它的最大值.

答案

当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为S₁₂= 130.

方法一 ∵a₁=20，S₁₀=S₁₅，

∴10×20+d=15×20+d，

∴d=-. 4分

∴a_n=20+（n-1）×(-)=-n+. 8分

∴a₁₃="0. " 10分

即当n≤12时，a_n＞0,n≥14时，a_n＜0.

∴当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为

S₁₂=S₁₃=12×20+(-)="130. " 14分

方法二同方法一求得d=-. 4分

∴S_n=20n+·(-)

=-n²+n

=-+. 8分

∵n∈N₊,∴当n=12或13时，S_n有最大值，

且最大值为S₁₂=S₁₃="130. " 14分

方法三同方法一得d=-. 4分

又由S₁₀=S₁₅,得a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅="0. " 8分

∴5a₁₃=0,即a₁₃="0. " 10分

∴当n=12或13时，S_n有最大值，

且最大值为S₁₂=S₁₃="130. " 14分