问题 填空题
若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.有下列函数:
①f(x)=
1
x
;②f(x)=2x

③f(x)=lg(x2+2);
④f(x)=cosπx,
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为______.
答案

(1)D=(-∞,0)∪(0,+∞),

若f(x)=

1
x
∈M,则存在非零实数x0,使得
1
x0+1
=
1
x0
+1

即x02+x0+1=0,

因为此方程无实数解,所以函数f(x)=

1
x
∉M.

(2)D=R,则存在实数x0,使得2x0+1=2x0+2解得x0=1,因为此方程有实数解,

所以函数f(x)=2x∈M.

(3)若存在x,使f(x+1)=f(x)+f(1)

则lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3

即2x2-2x+3=0,

∵△=4-24=-20<0,故方程无解.即f(x)=lg(x2+2)∉M

④存在x=

1
3
使f(x+1)=cosπ(x+1)=f(x)+f(1)=cosπx+cosπ成立,即f(x)=cosπx∈M;

综上可知②④中的函数属于集合

故答案为:②④

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