问题
填空题
若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.有下列函数: ①f(x)=
③f(x)=lg(x2+2); ④f(x)=cosπx, 其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为______. |
答案
(1)D=(-∞,0)∪(0,+∞),
若f(x)=
∈M,则存在非零实数x0,使得1 x
=1 x0+1
+11 x0
即x02+x0+1=0,
因为此方程无实数解,所以函数f(x)=
∉M.1 x
(2)D=R,则存在实数x0,使得2x0+1=2x0+2解得x0=1,因为此方程有实数解,
所以函数f(x)=2x∈M.
(3)若存在x,使f(x+1)=f(x)+f(1)
则lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3
即2x2-2x+3=0,
∵△=4-24=-20<0,故方程无解.即f(x)=lg(x2+2)∉M
④存在x=
使f(x+1)=cosπ(x+1)=f(x)+f(1)=cosπx+cosπ成立,即f(x)=cosπx∈M;1 3
综上可知②④中的函数属于集合
故答案为:②④