问题
选择题
已知函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
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答案
∵F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
∴g（x）+h（x）=ex，
则g（-x）+h（-x）=e-x，
即g（x）-h（x）=e-x，
解得g（x）=
，h（x）=ex+e-x 2
，ex-e-x 2
则∀x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，
等价为
-a⋅e2x+e-2x 2
≥0恒成立，ex-e-x 2
∴a≤
=e2x+e-2x ex-e-x
=(ex-e-x)+(ex-e-x)2+2 ex-e-x
，2 ex-e-x
设t=ex-e-x，则函数t=ex-e-x在[1，2]上单调递增，
∴e-e-1≤t≤e2-e-2，
此时 不等式t+
≥22 t
=2t• 2 t
，2
∴a≤2
，2
即实数a的取值范围是a≤2
，2
故选：B．
