在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线

问题解答题

在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|=

|DM|，点P在圆上运动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使

•

为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）

∵|DP|=

|DM|，∴|y1|=

|y|

∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x2+y12=4

∴x²+2y²=4

∴点M的轨迹C的方程为

=1(x≠±2)；

（Ⅱ）假设存在N（n，0）

AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程：y=k（x+1），

代入椭圆方程得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-4

1+2k2

∵

=(x1-n，y1)，

=(x2-n，y2)，

∴

•

=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂）=（1+k²）x₁x₂+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=

(2n2+4n-1)-

2n+

1+2k2

∵

•

是与k无关的常数，

∴2n+

∴n=-

，即N（-

，0），此时

•

当直线AB与x垂直时，n=-

时

•

综上所述，在x轴上存在定点N（-

，0），使

•

为常数．