（1）由已知可得，f(x)=a-

1

|2x-b|

，

且函数的定义域为D=(-∞，

b

2

)∪(

b

2

，+∞)．

又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．

于是，b=0．

又对任意x∈D，有f（x）=f（-x），可得b=0．

因此所求实数b=0．…（3分）

（2）由（1）可知，f(x)=a-

1

2|x|

(D=(-∞，0)∪(0，+∞))．

由f(x)=a-

1

2|x|

的图象，

知：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数

又n＞m＞0，

∴y=f（x）在区间[m，n]上是增函数．

∴有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

，

即方程1-

1

2x

=x，2x²-2x+1=0，

∵△=4-8＜0，

∴不存在正实数m，n，满足题意．…（7分）

（3）由（1）可知，

f(x)=a-

1

2|x|

(D=(-∞，0)∪(0，+∞))．f(x)=a-

1

2|x|

的图象，

知f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数

因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m、n同号．

①当0＜m＜n时，f（x）在区间[m，n]上是增函数，

有

a- 1 2m =m a- 1 2n =n

，

即方程x=a-

1

2x

，2x²-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，

因此

2a＞0 △=4a2-8＞0

，

解得a＞

2

．…（10分）

②当m＜n＜0时，f（x）在区间[m，n]上是减函数，

有

a+ 1 2m =n a+ 1 2n =m

，

化简得（m-n）a=0，a=0

综上，实数a的取值范围a=0，或a＞

2

．…（12分）