（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（x），

即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．

即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9

9x+1

9x

-log9(9x+1)=-x恒成立

即（2k+1）x=0恒成立，

而x不恒为零，所以k=-

1

2

．

（2）由题意知方程log9(9x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．

令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．

因为g(x)=log9

9x+1

9x

=log9(1+

1

9x

)

任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜9x1＜9x2，从而

1

9x1

＞

1

9x2

．

于是log9(1+

1

9x1

)＞log9(1+

1

9x2

)，即g（x₁）＞g（x₂），

所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．

因为1+

1

9x

＞1，所以g(x)=log9(1+

1

9x

)＞0．所以b的取值范围是（-∞，0]．

（3）由题意知方程3x+

1

3x

=a•3x-

4

3

a有且只有一个实数根．

令3^x=t＞0，则关于t的方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0（记为（*））有且只有一个正根．

若a=1，则t=-

3

4

，不合，舍去；

若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．

由△=0⇒a=

3

4

或-3；但a=

3

4

⇒t=-

1

2

，不合，舍去；而a=-3⇒t=

1

2

；

方程（*）的两根异号⇔（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．

综上所述，实数a的取值范围{-3}∪（1，+∞）．