问题
选择题
已知△ABC为正三角形，点A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点，则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为（ ）
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答案
不妨设正三角形ABC的边长为2，以AB所在的边为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则以A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为：
+x2 a2
=1，（a＞b＞0）．y2 b2
依题意，a=2，c=1，
∴b=
=22-11
，3
∴椭圆的方程为：
+x2 4
=1，y2 3
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=
×2a×2b=2ab=41 2
；3
又S△ABC=
|AB|•|AC|•sin60°=1 2
，3
∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为
=3 4 3
．1 4
故选B．