已知关于x的方程14x2-(m-2)x+m2=0．（1）若方程有两个相等的实数根

问题解答题

已知关于x的方程

x2-(m-2)x+m2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出方程的根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂．是否存在正数m，使得x₁²+x₂²=224？若存在请求出满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）依题意得△=0，即(m-2)2-4×

×m2=0，

-4m+4=0，

解得m=1，

当m=1时，原方程为

x2+x+1=0

解得x₁=x₂=-2．

（2）不存在．

假设存在正数m使得x₁²+x₂²=224，

则由韦达定理得x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²，

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，

即：m²-8m-20=0，

解得m₁=10，m₂=-2（舍去）

∵△=(m-2)2-4×

×m2=-4m+4＞0，

∴m＜1

∴m₁=10也不符合题意，应舍去．

故不存在正数m使得方程两根满足x₁²+x₂²=224．