问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=3，f（2）=12；
（1）求a，b，c的值；
（2）若（a-1）3+2a-4=0，（b-1）3+2b=0，求a+b的值；
（3）若关于x的不等式f（x2-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，求k的取值范围．
答案
（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，
又f（1）=a+c=3，f（2）=8a+2c=12，
解得：a=1，c=2；
∴a=1，b=0，c=2；
（2））∵f（x）=x3+2x，
又（a-1）3+2a-4=0，（b-1）3+2b=0，
∴（a-1）3+2（a-1）=2，（b-1）3+2（b-1）=-2，
∴f（a-1）=2且f（b-1）=-2，
即f（a-1）=-f（b-1），
∴f（a-1）=f（1-b），
∵f′（x）=3x2+2＞0，故f（x）=x3+2x为增函数，
∴a-1=1-b，
∴a+b=2．
（3）∵f（x2-4）+f（kx+2k）＜0在（0，1）上恒成立，即f（x2-4）＜f（-kx-2k）在（0，1）上恒成立，
即x2-4＜-kx-2k在（0，1）上恒成立，
即x2+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立，
令g（x）=x2+kx+2k-4，
则
，即g(0)≤0 g(1)≤0
，2k-4≤0 3k-3≤0
解得：k≤1．