问题
解答题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）A，B为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l：x=2
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答案
（1）由题意可知，b=1，…（1分）
∵e=
=c a
，a2=b2+c2．…（3分）3 2
∴a=2，…（4分）
∴椭圆的方程为
+y2=1．…（5分）x2 4
（2）证明：由题可得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x0，y0），由题意可得，直线AP的方程为y=
(x+2)，…（7分）y0 x0+2
令x=2
，则y=2
，即E（2(2
+2)y02 x0+2
，2
）； …（8分）(2
+2)y02 x0+2
直线BP的方程为y=
(x-2)，…（9分）y0 x0-2
令x=2
，则y=2
，即F（2(2
-2)y02 x0-2
，2
）； …（10分）(2
-2)y02 x0-2
设点M（m，0）在以线段EF为直径的圆上，则
•ME
=0，…（11分）MF
即(m-2
)2+2
=0，…（12分）4y02 x02-4
∵
+y02=1，即4y02=4-x02，x02 4
∴(m-2
)2=1，2
∴m=2
+1或m=22
-1．…（13分）2
所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定点（2
+1，0）或（22
-1，0）．…（14分）2