问题
解答题
函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式； （2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并证明． |
答案
（1）∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
当x∈（-1，0）时，f（-x）=
=2-x 2-x+1
=-f（x），1 2x+1
∴x∈（-1，0）时，f（x）=-1 2x+1
综上所述，f(x)=f(x)=
(0＜x＜1)2x 2x+1 0(x=0) f(x)=-
(-1＜x＜0)1 2x+1
（2）∵当x∈（0，1）时，f(x)=
．2x 2x+1
∴令0＜x1＜x2＜1，可得f（x1）-f（x2）=
-2x1 2x1+1
=2x2 2x2+1 2x1-2x2 (2x1+1)(2x2+1)
∵2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，可得f（x1）＜f（x2）
由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．