问题
解答题
已知函数f(x)=x2-2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)依图象写出函数的单调区间,并对函数f(x)在(-1,0)上的单调性加以证明.
答案
(Ⅰ)函数是偶函数,定义域是R,
∵f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
(Ⅱ)画出函数f(x)=
图象,x2-2x,x≥0 x2+2x,x<0
数形结合可得函数,如图:
单调递增区间为(-1,0),(1,+∞),
递减区间为(-∞,-1),(0,1).
证明:当x∈(-1,0)时,∵f(x)=x2+2x,
设-1<x1<x2<0,则x1-x2<0,且x1+x2>-2,即x1+x2+2>0,
∵f(x1)-f(x2)=(
-x 21
)+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)<0,x 22
∴f(x1)<f(x2),
所以,函数f(x)在(-1,0)上是单调递增函数.