问题
解答题
已知函数f（x）=x2-2|x|．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）依图象写出函数的单调区间，并对函数f（x）在（-1，0）上的单调性加以证明．
答案
（Ⅰ）函数是偶函数，定义域是R，
∵f（-x）=（-x）2-2|-x|=x2-2|x|=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）画出函数f（x）=
图象，x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0
数形结合可得函数，如图：
单调递增区间为（-1，0），（1，+∞），
递减区间为（-∞，-1），（0，1）．
证明：当x∈（-1，0）时，∵f（x）=x2+2x，
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0，
∵f(x1)-f(x2)=(
-x 21
)+2(x1-x2)=（x1-x2）（x1+x2+2）＜0，x 22
∴f（x1）＜f（x2），
所以，函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．
