问题
解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为2，并且椭圆C上的点与焦点最短的距离是1。
（1）求椭圆C的离心率及标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，则k与m之间应该满足怎样的关系？
（3）在（2）的条件下，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l必过定点，并求出定点的坐标。
答案
解：（1）∵2c=2，a-c=1，
∴c=1，a=2，
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆C的方程为
。
（2）由方程组
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
由题意：Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）>0，
整理得3+4k2-m2>0 ①；
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，
即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0，
即
整理得7m2+16mk+4k2=0，
解得m=-2k或
，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去；
当
时，直线l的方程为
，过定点
故直线l过定点，且定点的坐标为
。