（1）∵函数f(x)=

px2+2

x-q

，对定义域中的所有x都满足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5，

∴f（2）=

4p+2

2-q

=5，

即4p+2=10-5q，

∴4p+5q=8，

由f（x）+f（-x）=0得

px2+2

x-q

=-

px2+2

-x-q

=

px2+2

x+q

，

∴-q=q，解得q=0，

∴p=2．

（2）∵p=2，q=0，

∴函数f(x)=

px2+2

x-q

=

2x2+2

x

=2x+

2

x

，

f（x）在[1，+∞）上的单调递增．

证明：设x₂＞x₁≥1，

则f（x₂）-f（x₁）=2(x2-x1)+

2(x1-x2)

x1x2

=2(x2-x1)•

x1x2-1

x1x2

，

∵x₂＞x₁≥1，

∴x₂-x₁＞0，x₂x₁＞1，

∴f（x₂）-f（x₁）＞0，

即f（x₂）＞f（x₁），

∴函数f（x）在[1，+∞）上的单调递增．