对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，

问题解答题

对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设函数f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切t∈R恒成立，求实数t的取值范围．
（3）若函数g（x）=mx+

x2+2x+n

是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．

答案

（1）当x∈[1，3]时，f（x）=x-1+3-x=2，

当x∉[1，3]时，f（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2，

故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，

所以函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；

（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，

所以|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，

由（1）可知f（x）_min=（|x-1|+|x-3|）_min=2，

所以|t-1|+|t-2|≤2，

解得：

≤t≤

；

（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，

都有g（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx，

所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立，

所以

m2=1

-2cm=2

c2=n

，所以

m=1

c=-1

n=1

或

m=-1

c=1

n=1

，

①当

m=1

c=-1

n=1

时，g（x）=x+|x+1|．

当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．

此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数；

②当

m=-1

c=1

n=1

时，g（x）=-x+|x+1|．

当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．

此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“U型”函数．

综上分析，m=1，n=1为所求；