问题
解答题
| 对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数． （1）求证函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数； （2）设函数f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切t∈R恒成立，求实数t的取值范围． （3）若函数g（x）=mx+
|
答案
（1）当x∈[1，3]时，f（x）=x-1+3-x=2，
当x∉[1，3]时，f（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2，
故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，
所以函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）min，
由（1）可知f（x）min=（|x-1|+|x-3|）min=2，
所以|t-1|+|t-2|≤2，
解得：
≤t≤1 2
；5 2
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+
=c，即x2+2x+n
=c-mx，x2+2x+n
所以x2+2x+n=（c-mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立，
所以
，所以m2=1 -2cm=2 c2=n
或m=1 c=-1 n=1
，m=-1 c=1 n=1
①当
时，g（x）=x+|x+1|．m=1 c=-1 n=1
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数；
②当
时，g（x）=-x+|x+1|．m=-1 c=1 n=1
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“U型”函数．
综上分析，m=1，n=1为所求；
