已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（

问题解答题

已知F₁，F₂是椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（-

，1）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足

F2M

．
（1）求椭圆C的方程．
（2）椭圆C上任一动点M（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为M₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范围．

答案

（1）由已知，点P（-

，1）在椭圆上

∴有

=1①（1分）

又

F2M

=0，M在y轴上，

∴M为P、F₂的中点，（2分）

∴-

+c=0，c=

．（3分）

∴由a²-b²=2，②（4分）

解①②，解得b²=2（b²=-1舍去），∴a²=4

故所求椭圆C的方程为

=1．（6分）

（2）∵点M（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为M（x₁，y₁），

∴

y0-y1

x0-x1

×2=-1

y0+y1

=2×

x0+x1

（8分）

解得

x1=

4y0-3x0

y1=

3y0-4x0

（10分）

∴3x₁-4y₁=-5x₀（11分）

∵点P（x₀，y₀）在椭圆C：

=1上，∴-2≤x₀≤2∴-10≤-5x₀≤10．

即3x₁-4y₁的取值范围为[-10，10]．（12分）