问题
解答题
已知函数f(x)=x+
（1）用函数单调定义研究函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明之； （3）根据函数的单调性和奇偶性作出函数f（x）的图象，写出该函数的单调减区间． |
答案
（1）任意取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=(x1+
)-(x2+3 x1
)=(x1-x2)(1-3 x2
)=(x1-x2)3 x1x2
（3分）x1x2-3 x1x2
因为x1＜x2所以x1-x2＜0
当x1，x2∈(0，
]时，0＜x1x2＜3所以x1x2-3＜03
所以f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
所以f（x）在（0，
]上是单调减函数．（6分）3
同理可证f（x）在（
，+∞）上是单调增函数．（8分）3
（2）函数f（x）的定义域为x|x≠0，x∈R关于原点对称（9分）
因为f(-x)=-x-
=-f(x).3 x
所以f（x）是奇函数．（12分）
（3）图象为
（14分）
函数f（x）的单调减区间为(-
，0)和(0，3
)（16分）3