问题
解答题
已知函数f（x）=x+
（1）证明函数f（x）是奇函数； （2）若a=1，求证函数在区间[1，+∞）上单调递增； （3）若函数在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围． |
答案
（1）函数的定义域是x∈R，且x≠0，又f（-x）=（-x）+
=-（x+a -x
）=-f（x），所以f（x）是奇函数；a x
（2）当a=1时，任取x1，x2∈[1，+∞），且1≤x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=（x2+
）-（x1+1 x2
）=（x2-x1）+1 x1
=x1-x2 x1x2
；(x2-x1)(x1x2-1) x1x2
∵x2-x1＞0，x1x2＞1，∴x1x2-1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数在区间[1，+∞）上是增函数；
（3）因为函数在区间[1，+∞）上是增函数，设1≤x1＜x2，则x2-x1＞0，x1x2＞1，
所以f（x2）-f（x1）=（x2+
）-（x1+a x2
）=（x2-x1）+a x1
=a(x1-x2) x1x2
＞0，(x2-x1)(x1x2-a) x1x2
∴x1x2-a＞0，
∴a＜x1x2，故a≤1，所以a的取值范围是：[1，+∞）．