已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求：代数式x

问题解答题

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x²y+xy²=66，求：代数式x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴的值．

答案

由已知条件可知xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的两个实数根，由t₁=6，t₂=11

得

xy=6

x+y=11

或

xy=11

x+y=6

当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v²-6v+11=0的两个根

∵△₁=36-44＜0

∴此方程没有实数根

当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u²-11u+6=0的两个根

∵△₂=121-24＞0

∴此方程有实数根，这时x²+y²=（x+y）²-2xy=109

∴x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴=x⁴+y⁴+x²y²+xy（x²+y²）=（x²+y²）²-x²y²+xy（x²+y²）=12499．