已知关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围为______.
∵ex|x-a|≥x,
∴|x-a|≥
,x ex
∴x-a≤-
或x-a≥x ex
,x ex
∴a≥x+
或a≤x-x ex
,x ex
∵关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,
∴a≥x+
或a≤x-x ex
在x∈R上恒成立,x ex
令f(x)=x+
,g(x)=x-x ex
,x ex
∴a≥x+
或a≤x-x ex
在x∈R上恒成立,x ex
转化为a≥f(x)max①,或a≤g(x)min②,
下面求解①:
∵f(x)=x+
,x ex
∴f′(x)=1+
=(1-x)ex (ex)2
,ex-x+1 ex
令h(x)=ex-x+1,则h′(x)=ex-1=0,解得x=0,
当x<0时,h′(x)<0,当x>0时,h′(x)>0,
∴h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)的最小值为h(0)=2,
∴h(x)>0对x∈R恒成立,
∴f′(x)=
>0对x∈R恒成立,ex-x+1 ex
∴f(x)在R上为单调递增函数,
故f(x)无最大值,
∴a无解;
下面求解②:
∵g(x)=x-
,x ex
∴g′(x)=1-
=(1-x)ex (ex)2
,ex+x-1 ex
令m(x)=ex+x-1,则m′(x)=ex+1>0对x∈R恒成立,
∴m(x)在R上为单调递增函数,
又m(0)=0,
∴当x<0时,m(x)<0,即g′(x)<0,
当x>0时,m(x)>0,即g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,g(x)取得最小值g(x)min=0,
∴a≤0.
综合①②,实数a的取值范围为a≤0.