问题 填空题

已知关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,则实数a的取值范围为______.

答案

∵ex|x-a|≥x,

∴|x-a|≥

x
ex

∴x-a≤-

x
ex
或x-a≥
x
ex

∴a≥x+

x
ex
或a≤x-
x
ex

∵关于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,

∴a≥x+

x
ex
或a≤x-
x
ex
在x∈R上恒成立,

令f(x)=x+

x
ex
,g(x)=x-
x
ex

∴a≥x+

x
ex
或a≤x-
x
ex
在x∈R上恒成立,

转化为a≥f(x)max①,或a≤g(x)min②,

下面求解①:

∵f(x)=x+

x
ex

∴f′(x)=1+

(1-x)ex
(ex)2
=
ex-x+1
ex

令h(x)=ex-x+1,则h′(x)=ex-1=0,解得x=0,

当x<0时,h′(x)<0,当x>0时,h′(x)>0,

∴h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,

∴h(x)的最小值为h(0)=2,

∴h(x)>0对x∈R恒成立,

∴f′(x)=

ex-x+1
ex
>0对x∈R恒成立,

∴f(x)在R上为单调递增函数,

故f(x)无最大值,

∴a无解;

下面求解②:

∵g(x)=x-

x
ex

∴g′(x)=1-

(1-x)ex
(ex)2
=
ex+x-1
ex

令m(x)=ex+x-1,则m′(x)=ex+1>0对x∈R恒成立,

∴m(x)在R上为单调递增函数,

又m(0)=0,

∴当x<0时,m(x)<0,即g′(x)<0,

当x>0时,m(x)>0,即g′(x)>0,

∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,

∴当x=0时,g(x)取得最小值g(x)min=0,

∴a≤0.

综合①②,实数a的取值范围为a≤0.

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