问题
解答题
已知点A、B分别是椭圆
（I）求椭圆的方程； （II）若椭圆上存在点P，满足
（III）在（II）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值． |
答案
（I）由题意，
，∴a=
=a2+b2 a 2 2
×2a×b=1 2 2
，b=12
∴椭圆的方程为
+y2=1；x2 2
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则
x1+x2=-
，x1x2=4km 1+2k2 2m2-2 1+2k2
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=2m 1+2k2
（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵
+OM
=λON
，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），OP
∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，
∴x0=-
，y0=4km λ(1+2k2) 2m λ(1+2k2)
∵P在椭圆上，
∴[
]2+2[4km λ(1+2k2)
]2=22m λ(1+2k2)
化简，得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2．
∵1+2k2≠0，
∴有4m2=λ2（1+2k2）．…①
又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），
∴由△＞0，得1+2k2＞m2．…②
将①、②两式，∵m≠0，∴λ2＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=
|x1-x2|，点O到直线MN的距离d=1+k2 |m| 1+k2
∴S△MNO=
|MN|d=1 2
|m||x1-x2|=1 2
|m|2 1+2k2-m2 1+2k2
由①得1+2k2=
，代入上式并化简可得S△MNO=4m2 λ2
•2 4 λ2(4-λ2)
∵
≤λ2(4-λ2)
=2λ2+(4-λ2) 2
∴S△MNO≤2 2
当且仅当λ2=4-λ2，即λ=±
时，等号成立2
∴当λ=±
时，△MNO的面积最大，最大值为2
．2 2