解（1）∵e=

3

3

，即

c

a

=

3

3

．又2c=2，解得a=

3

，

则b=

a2-c2

=

2

．

（2）

由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得（a²+b²）•x²-2a²x+a²•（1-b²）=0，

由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．

设A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

．

∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．

∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），

∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．

∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．

∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得

2a²=1+

1

1-e2

，

∴a²=

1

2

(1+

1

1-e2

)．

∵e∈[

1

2

，

2

2

]∴

1

4

≤e2≤

1

2

，

∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，

∴

4

3

≤

1

1-e2

≤2，∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3，

∴

7

6

≤a2≤

3

2

，适合条件a²+b²＞1，

由此得

42

6

≤a≤

6

2

．

∴

42

3

≤2a≤

6

，

故长轴长的最大值为

6