问题
解答题
已知点P为圆x2+y2=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点。
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分。
答案
解：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆
上，
∴
，曲线C的方程为
．
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，
代入曲线C的方程
，可得
，
∵0＜t＜2，
∴
，
∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）
设点A，B的坐标分别
，则
，
要使∠ANB被x轴平分，只要
，
即
，
，
也就是
，
，
即
，即只要（nt-4）s=0，
当
时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分，
所以在x轴上存在定点
，使得∠ANB总能被x轴平分。