已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点F1（

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）的距离之和为2

，且其焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B．问是否存在以A，B为直径的圆过椭圆的右焦点F₂．若存在，求出m的值；不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）依题意可知

2a=2

2c=2

又b²=a²-c²，解得

b=1

------------------（2分）

则椭圆方程为

+y2=1．---------------------（4分）

（Ⅱ）联立方程

+y2=1

x-y+m=0

消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0（6分）

则△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0

解得-

＜m＜

①--------------------（7分）

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-4m

，x1x2=

2m2-2

，

又F₂（1，0），∴

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)

若存在，则

F2A

•

F2B

=0，即：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②

又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，∴y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m2

代入②有2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2+1=0

∴2×

2m2-2

+(m-1)(-

)+m2+1=0，

解得m=-

或m=

-2

------------------（11分）

检验都满足①，∴m=

-2±

------------------（12分）