问题
解答题
已知P为圆x2+y2=4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点E（0，2）的直线l与曲线C交于A、B两点，若点O在以AB为直径的圆上或圆外（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。
答案
解：（1）设M（x，y），则P（x，2y），
∵点P在圆x2+y2=4上，
∴x2+（2y）2=4，
所以点M的轨迹C的方程为
+y2=1；
（2）依题意，显然l的斜率存在，设l：y=kx+2，
由方程组
，消y得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
∵直线l与C有两交点，
∴△=（16k）2-4×12·（1+4k2）＞0，解得k2＞
，
且xA+xB=
，xA·xB=
；
又∠AOB为直角或锐角，xA·xB+yA·yB≥0，
即xA·xB+（kxA+2）（kxB+2）≥0，
（1+k2）xA·xB+2k（xA+xB）+4≥0，
所以（1+k2）
-2k
+4≥0，解得k2≤4，
故直线l的斜率k的取值范围是k∈
。