问题 选择题

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-4)=-f(x),在[0,2]上f(x)是增函数,则下列结论:①若0<x1<x2<4,且x1+x2=4,则f(x1)+f(x2)>0;②若0<x1<x2<4,且x1+x2=5,则f(x1)>f(x2);③若方程f(x)=m在[-8,8]内恰有四个不同的角x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=±8,其中正确的有(  )

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案

此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,

综合条件得函数的示意图,由图看出,

①若0<x1<x2<4,且x1+x2=4,f(x)在[0,2]上是增函数,则f(x1)>f(x1-4)=f(-x2)=-f(x2);则f(x1)+f(x2)>0;故①正确;

②若0<x1<x2<4,且x1+x2=5,f(x)在[0,2]上是增函数,由图可知:f(x1)>f(x2);故②正确;

③当m>0时,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,所以x1+x2+x3+x4=-8.

当m<0时,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-2),另两个交点的横坐标之和为2×6,所以x1+x2+x3+x4=8.故③正确;

故选D.

填空题
单项选择题