因为f（x）是偶函数，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）

所以f（ax+1）≤f（x+2）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立⇔f（|ax+1|）≤f（|x+2|）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立①；

又因为在[0，+∞）上是增函数，

故①式转化为|ax+1|≤|x+2|在 x∈[

1

2

，1]上恒成立⇒（a²-1）x²+2（a-2）x-3≤0②；

在 x∈[

1

2

，1]上恒成立．

a=1时，②转化为-2x-3≤0⇒x≥-

3

2

成立；

a=-1时，②转化为2x+1≥0⇒x≥-

1

2

成立；

|a|＞1时，得a²-1＞0，②转化为

(a2-1)×( 1 2 )2+2(a-2)× 1 2 -3≤0 (a2-1)×1+2(a-2)×1-3≤0

，

⇒-4≤a≤2（a≠±1）．

综上得：实数a的取值范围为[-4，2]．

故选A．