（1）由于f(-

1

3

)=log2

1- 1 3

1+ a 3

=-1，∴

2 3

1+ a 3

=

1

2

，即

4

3

=1+

a

3

，解得a=1，

∴f(x)=log2

1+x

1-x

．

再由

1+x

1-x

＞0，求得-1＜x＜1

，∴定义域为（-1，1），定义域关于原点对称．

再根据f(-x)=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x）

∴f（x）为奇函数．-----（3分）

（2）f（x）=log2(-1-

2

x-1

)，∴f(3x)=log2(-1-

2

3x-1

)．

∵-1≤x＜0，∴-

2

3

≤3^x-1＜0，∴

2

3x-1

≤-3，即-

2

3x-1

≥3，

∴-1-

2

3x-1

≥2，∴log2(-1-

2

3x-1

)≥log22=1，

∴值域为[1，+∞）．-----（7分）

（3）∵log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

=2log2

1+x

k

=log2(

1+x

k

)2，∴

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2．

∵

1

2

≤x≤

2

3

，∴x+1＞0．-------（9分）

令 h（x）=1-x²，显然h（x）在[

1

2

，

3

2

]上是减函数，∴h(x)max=h(

1

2

)=

3

4

，

∴只需k²≤

3

4

．又由g（x）定义域知k＞0，∴0＜k≤

3

2

，即k的范围为 （0，

3

2

）．-----（13分）