问题
解答题
已知，椭圆C过点A(1，
（1）求椭圆C的方程； （2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． |
答案
（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为
+1 1+b2
=1，9 4b2
解得b2=3，b2=-
（舍去）3 4
所以椭圆方程为
+x2 4
=1．y2 3
（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k(x-1)+
，3 2
代入
+x2 4
=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(y2 3
-k)2-12=03 2
设E（xE，yE），F（xF，yF），
因为点A(1，
)在椭圆上，3 2
所以xE=
，yE=kxE+4(
-k)2-123 2 3+4k2
-k．3 2
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-K代K，可得xF=
，yF=-kxF+4(
+k)2-123 2 3+4k2
+k3 2
所以直线EF的斜率KEF=
=yF-yE xF-xE
=-k(xF+xE)+2k xF-xE 1 2
即直线EF的斜率为定值，其值为
．1 2