问题
解答题
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）线段OF2上是否存在点M（m，0），使得
|
答案
（Ⅰ）∵
•AF1
=0，∴∠AF1F2=90°．F1F2
∵3|
| |AF2
|=-5F1A
•AF2
，∴cos∠F1AF2=F1A
．3 5
又|
|=2，解得|F1F2
|=AF1
，|3 2
|=AF2
．5 2
∴2a=|
|+|AF1
|=4，AF2
∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3，
即所求椭圆方程为
+x2 4
=1．y2 3
（Ⅱ） 存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），
直线PQ的斜率为k（k≠0），
注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由
消去y得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
+x2 4
=1y2 3 y=k(x-1)
所以x1+x2=
，8k2 4k2+3
故x0=
=x1+x2 2
，y0=k（x0-1）=4k2 4k2+3
．-3k 4k2+3
又点N在直线PQ上，所以N(
，4k2 4k2+3
)，-3k 4k2+3
由
•QP
=MP
•PQ
可得MQ
•(PQ
+MP
)=2MQ
•PQ
=0，MN
∴PQ⊥MN，∴kMN=
=-0+ 3k 4k2+3 m- 4k2 4k2+3
，1 k
整理得m=
=k2 4k2+3
∈(0，1 4+ 3 k2
)，1 4
所以，在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，
)．1 4