（1）由椭圆C的离心率e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，

椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）又点F₂在线段PF₁的中垂线上

∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴(2c

)

2

=(

3

)2+(2-c)2解得c=1，a²=2，b²=1，

∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．

（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）≥0

即2k²-m²+1≥0

则x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，且kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

由已知α+β=π，得kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．

化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂-2m）=0

∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0整理得m=-2k．

∴直线MN的方程为y=k（x-2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）