已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2分别为左，右焦点，离

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂分别为左，右焦点，离心率为

，点A在椭圆C上，|

AF1

|=2，|

AF2

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，过F₂与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（1）由已知e=

，∴2c=a，即|F₁F₂|=a

∵|

AF1

|=2，∴|

AF2

|=2a-2

又∵|

AF2

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，

∴cos∠F1AF2=

AF2

•

F1A

AF2

F1A

，

在△F₁AF₂中，由余弦定理得a2=4+(2a-2)2-2×2(2a-2)×

，

即a²-4a+4=0

∴a=2

∴c=1，b²=a²-c²=3，

∴椭圆方程为

=1．

（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线l的方程为y=k（x-1），

联立：

y=k(x-1)

3x2+4y2=12

⇒(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

∵直线l过焦点，∴△＞0

∴

x1+x2=

8k2

3+4k2

，

x1x2=

4k2-12

3+4k2

∵线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形

∴(

)•

∵

=(x1-m，y1)，

=(x2-m，y2)，

=(x2-x1，y2-y1)，

=(x2+x1-2m，y2+y1)，

∴(

)•

=(x2+x1-2m)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0，

∵x₂-x₁≠0，k=

y2-y1

x2-x1

∴x₂+x₁-2m+k（y₂+y₁）=0，

∵y₂+y₁=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₂+x₁）-2k

∴x₂+x₁-2m+k²（x₂+x₁-2）=0，

∴

8k2

3+4k2

-2m+k2(

8k2

3+4k2

-2)=0，

∴m=

3+4k2

，

∴k2=

1-4m

＞0⇒0＜m＜

，

又∵M（m，0）在线段OF₂上，则0＜m＜1，

故存在m∈(0，

)满足题意．