问题 解答题

已知双曲线的焦点在y轴上,两顶点间的距离为4,渐近线方程为y=±2x.

(Ⅰ)求双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设(Ⅰ)中双曲线的焦点F1,F2关于直线y=x的对称点分别为F1′,F2′,求以F1′,F2′为焦点,且过点P(0,2)的椭圆方程.

答案

(Ⅰ)因为双曲线的焦点在y轴上,设所求双曲线的方程为

y2
a2
-
x2
b2
=1.

由题意,得

2a=4
a
b
=2
解得a=2,b=1.

所求双曲线的方程为

y2
4
-x2=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得F1(0,-

5
),F2(0,
5
).

点F1,F2关于直线y=x的对称点分别为F1′(-

5
,0),F2′(
5
,0),又P(0,2),设椭圆方程为
x2
m2
+
y2
n2
=1
(m>n>0).

由椭圆定义,得2m=6,∴m=3

因为m2-n2=5,所以n2=4.

所以椭圆的方程为

x2
9
+
y2
4
=1.

单项选择题
单项选择题 A1/A2型题