在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:
(Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值. |
(Ⅰ)根据题意可得
+3 2a2
=12 b2 b2-a2=1
可解得a= 3 b=2
∴椭圆E的方程为
+x2 3
=1…(4分)y2 4
(Ⅱ)不妨设A1(0,2),A2(0,-2)
P(x0,4)为直线y=4上一点(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2)
直线PA1方程为y=
x+2,直线PA2方程为y=2 x0
x-26 x0
点M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组
可得
+x2 3
=1y2 4 y=
x+22 x0 x1= -6x0 3+x0 y1=
-62x 20 3+x0
点N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满足方程组
可得
+x2 3
=1y2 4 y=
x-26 x0 x2= 18x0 27+ x 20 y2= -2
+54x 20 27+ x 20
由于椭圆关于y轴对称,当动点P在直线y=4上运动时,直线MN通过的定点必在y轴上,
当x0=1时,直线MN的方程为y+1=
(x+4 3
),令x=0,得y=1可猜测定点的坐标为(0,1),并记这个定点为B3 2
则直线BM的斜率kBM=
=y1-1 x1
=
-12
-6x 20 3+ x 20 -6x0 3+ x 20 9- x 20 6x0
直线BN的斜率kBN=
=y2-1 x2
=
-1-2
+54x 20 27+ x 20 18x0 27+ x 20 9- x 20 6x0
∴kBM=kBN,即M,B,N三点共线,故直线MN通过一个定点B(0,1),
又∵F(0,-1),B(0,1)是椭圆E的焦点,
∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.