问题 解答题
在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)经过点A(
6
2
2
),且点F(0,-1)为其一个焦点.   
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设椭圆E与y轴的两个交点为A1,A2,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.
答案

(Ⅰ)根据题意可得

3
2a2
+
2
b2
=1
b2-a2=1

可解得

a=
3
b=2

∴椭圆E的方程为

x2
3
+
y2
4
=1…(4分)

(Ⅱ)不妨设A1(0,2),A2(0,-2)

P(x0,4)为直线y=4上一点(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2

直线PA1方程为y=

2
x0
x+2,直线PA2方程为y=
6
x0
x-2

点M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满足方程组

x2
3
+
y2
4
=1
y=
2
x0
x+2
可得
x1=
-6x0
3+x0
y1=
2x20
-6
3+x0

点N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满足方程组

x2
3
+
y2
4
=1
y=
6
x0
x-2
    可得
x2=
18x0
27+
x20
y2=
-2
x20
+54
27+
x20

由于椭圆关于y轴对称,当动点P在直线y=4上运动时,直线MN通过的定点必在y轴上,

当x0=1时,直线MN的方程为y+1=

4
3
(x+
3
2
),令x=0,得y=1可猜测定点的坐标为(0,1),并记这个定点为B

则直线BM的斜率kBM=

y1-1
x1
=
2
x20
-6
3+
x20
-1
-6x0
3+
x20
=
9-
x20
6x0

直线BN的斜率kBN=

y2-1
x2
=
-2
x20
+54
27+
x20
-1
18x0
27+
x20
=
9-
x20
6x0

∴kBM=kBN,即M,B,N三点共线,故直线MN通过一个定点B(0,1),

又∵F(0,-1),B(0,1)是椭圆E的焦点,

∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.

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