问题
解答题
在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值． |
答案
（Ⅰ）根据题意可得
+3 2a2
=12 b2 b2-a2=1
可解得a= 3 b=2
∴椭圆E的方程为
+x2 3
=1…（4分）y2 4
（Ⅱ）不妨设A1（0，2），A2（0，-2）
P（x0，4）为直线y=4上一点（x0≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）
直线PA1方程为y=
x+2，直线PA2方程为y=2 x0
x-26 x0
点M（x1，y1），A1（0，2）的坐标满足方程组
可得
+x2 3
=1y2 4 y=
x+22 x0 x1= -6x0 3+x0 y1=
-62x 20 3+x0
点N（x2，y2），A2（0，-2）的坐标满足方程组
可得
+x2 3
=1y2 4 y=
x-26 x0 x2= 18x0 27+ x 20 y2= -2
+54x 20 27+ x 20
由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x0=1时，直线MN的方程为y+1=
(x+4 3
)，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B3 2
则直线BM的斜率kBM=
=y1-1 x1
=
-12
-6x 20 3+ x 20 -6x0 3+ x 20 9- x 20 6x0
直线BN的斜率kBN=
=y2-1 x2
=
-1-2
+54x 20 27+ x 20 18x0 27+ x 20 9- x 20 6x0
∴kBM=kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，
∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．