已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分

问题解答题

已知椭圆E：

=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且

F1P

•

F2P

=-6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．

答案

（1）设点F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），

则

F1P

=(3+c，1)，

F2P

=(3-c，1)，

故

F1P

•

F2P

=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，

解得c=4，

所以2a=|PF1|+|PF2|=

(3+4)2+12

(3-4)2+12

，

所以a=3

，b2=a2-c2=18-16=2，

所以椭圆E的方程为

=1．　　　　　

（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则

F1M

=(9，m)，

F2N

=(1，n)，

因为

F1M

⊥

F2N

，

所以

F1M

•

F2N

=9+mn=0，即mn=-9，

又因为圆C的圆心为(5，

m+n

)，半径为

|m-n|

，

所以圆C的方程为(x-5)2+(y-

m+n

)2=(

|m-n|

)2，

即（x-5）²+y²-（m+n）y+mn=0，即（x-5）²+y²-（m+n）y-9=0，

令y=0，可得x=8或2，

所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．