问题
解答题
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：
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答案
（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，yM）代入椭圆方程
+c2 a2
=1，解得yM=±y 2M b2
，…（2分）b2 a
故
=3，可得b2=3． …（4分）2b2 a
所以，椭圆方程为
+x2 4
=1． …（6分）y2 3
（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），
则|AR|=2
，…（8分）1+k2
设A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组
，y=k(x+2)
+x2 4
=1y2 3
消去y得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，
x1+x2=-
，x1x2=16k2 4k2+3
，16k2-12 4k2+3
则|AQ|=
|x1-x2|=1+k2 1+k2
=(x1+x2)2-4x1x2
． …（11分）12 1+k2 4k2+3
设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），联立方程组
，y=kx
+x2 4
=1y2 3
消去y得（4k2+3）x2-12=0，|x4|=
，12 4k2+3
所以|OP|=
|x4|=1+k2
•1+k2
． …（13分）12 4k2+3
故
=|AQ|•|AR| |OP|2
=2．2 1+k2 12 1+k2 4k2+3 ( 1+k2
)212 4k2+3
所以
等于定值2…（15分）|AQ|•|AR| |OP|2