（1）∵函数f（x）=

a2x-(t-1)

ax

（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，

∴f（0）=0，即

a0-(t-1)

a0

=0，

∴t=2；

（2）由（1）可知，t=2，

∴f（x）=

a2x-1

ax

，

∵f（1）＞0，

∴

a2-1

a

＞0，即

(a+1)(a-1)

a

＞0，

又∵a＞0，

∴a＞1，

∵f（x）为奇函数，

∴-f（x-1）=f（1-x），

∴不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立，即f（kx-x²）＜f（1-x）对一切x∈R恒成立，

∵a＞1，则y=a^x在R上为单调递增函数，

∴f（x）=

a2x-1

ax

=ax-

1

ax

在R上为单调递增函数，

∴kx-x²＜1-x对一切x∈R恒成立，即x²-（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，

∴△=（k+1）²-4＜0，即k²+2k-3＜0，

∴-3＜k＜1，

∴实数k的取值范围为-3＜k＜1；

（3）假设存在正数m，且m≠1符合题意，

∵函数f（x）的反函数过点（

3

2

，1），

∴

3

2

=

a2-1

a

，

∴a=-

1

2

或a=2，

∵a＞0，

∴a=2，

∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]，

∴g（x）=log_m[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2]，

令t=2^x-2^-x，

∴（2^x-2^-x）-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，

∵x∈[1，log23]，

∴t∈[

3

2

，

8

3

]，

记h（t）=t²-mt+2，

∵函数g（x）=log_m[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log₂³]上的最大值为0，

①当0＜m＜1时，y=log_mh（t）是单调递减函数，

∴函数h（t）=t²-mt+2在[

3

2

，

8

3

]有最小值1，

∵对称轴t=

m

2

＜

1

2

，

∴函数h（t）在[

3

2

，

8

3

]上单调递增，

∴h（t）_min=h（

3

2

）=

17

4

-

3

2

m=1，

∴m=

13

6

，

∵0＜m＜1，

∴m=

13

6

不符合题意；

②当m＞1时，则函数h（t）＞0在[

3

2

，

8

3

]上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，

∵函数h（t）=t²-mt+2在[

3

2

，

8

3

]有最大值1，h（t）的对称轴为x=

m

2

，

（i）当

m

2

＜

25

12

，即m＜

25

6

时，

当t=

8

3

时，h（t）取得最大值h（

8

3

）=

82

9

-

8m

3

=1，

∴m=

73

24

，

又∵

m

2

=

73

48

∈[

3

2

，

8

3

]，

∴当t=

73

48

时，h（t）取得最小值h（

73

48

）＜0，

∴g（x）在[1，log₂³]无意义，

∴m=

73

24

不符合题意；

（ii）当

m

2

≥

25

12

，即m≥

25

6

时，

当t=

3

2

时，h（t）取得最大值h（

3

2

）=

17

4

-

3m

2

=1，

∴m=

13

6

，

∵m≥

25

6

，

∴m=

13

6

不符合题意．

综上所述，不存在正数m，使函数g（x）在[1，log₂³]上的最大值为0．