问题
解答题
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=
（1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若
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答案
（1）设椭圆C的方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．…（2分）∴y2 b2
=a2-b2 a2
．即2 5 5
=1- 1 a2
．∴a2=5．…（4分）2 5 5
∴椭圆C的方程为
+y2=1．…（5分）x2 5
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．
又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．…（7分）
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0．…（8分）∴x1+x2=
，x1x2=20k2 1+5k2
．…（9分）20k2-5 1+5k2
又∵
=λ1MA
，AF
=λ2MB
，将各点坐标代入得λ1=BF
，λ2=x1 2-x1
．（11分）∴λ1+λ2=x2 2-x2
+x1 2-x1
=x2 2-x2
=…=-10．…（12分）2(x1+x2)-2x1x2 4-2(x1+x2)+x1x2